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各种例子诞生拓扑学以来，拓扑学开始作为数学正统之一来发展。
发现了很多个例子，把他们归结成拓扑学。
然后开始实用严格的方法去规定他们。
然后对不同的拓扑学开始分类，分成几个标准的类型，以此来作为构造复杂拓扑形状的原件。这就是让拓扑与群联系起来。
然后开始准备进行装配，配边等方法让不同的拓扑组合起来。
然后对奇点，无穷大点进行修补，补好了可以让形状变动普通。
让拓扑学与微分集合合起来，解释多个关于拓扑本身性质的问题。
寻找的重要的例子，莫比乌斯带、克莱因瓶、庞加莱猜想和椭圆曲线与圆环的组合等等。
康托儿数字与拓扑联系起来。
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《基础拓扑学》是一部拓扑学入门书。作者主要介绍了拓扑空间中的拓扑不变量，以及相应的计算方法。本书涉及点集拓扑、几何拓扑、代数拓扑中的各类方法及其应用，并包含大量的图解和难度各异的思考题，有助于培养学生的几何直观能力和对本书的深刻理解。本书内容浅易，注重抽象理论与具体应用相结合。
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1966年，英国拓扑学家马克·阿姆斯特朗对自己的老师知名拓扑学家erikzeen说：“拓扑学是如何开始的？”
erikzeen说：“从欧拉的七桥定理开始的，从这个中间把七桥的模型画成图论，从图论中分析出拓扑等价。”
马克说：“听起来很简单，那如何去研究拓扑学呢？”
erikzeen说：“主要就是分类，对不同的拓扑结构进行分类。分类出很多曲面，对曲面解构成抽象空间，然后找到拓扑不变量去分类。”
马克说：“那要分类很多曲面，是什么曲面？有标准吗？”
erikzeen说：“是的，要严格的连续曲面，不能是离散的。”
马克说：“如何说明是连续的？”
erikzeen说：“就跟我说的一样，这是一个抽象空间，这个空间需要由开集和闭集这样的东西给组成。然后开集和闭集需要引入连续映射系统来完整这个函数的描述。”
马克说：“为什么要用开集和闭集这样的东西？”
erikzeen说：“因为严格。如果使用几何、数字、符号或者是其他的描述拓扑的系统，都缺乏严格性。如果时间久了会出现很多我们不想要的漏洞。”